Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Докажите, что данное число являтся составным». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Составные числа отличаются от простых тем, что у них есть еще хотя бы один делитель, который не равен единице и самому числу. Простое число имеет только два делителя: единицу и само себя.
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
- 11, 13, 17, 19 — список простых чисел.
- 11 — делится только на 1 и 11.
- 13 — делится на 1 и 13.
- 17 — делится на 1 и 17.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
- 9, 10, 12, 14 — список составных чисел.
- 9 — делится на 1, на 3 и на 9.
- 10 — делится на 1, на 2, на 5 и на 10.
- 12 — делится на 1, на 2, 3, 4, 6 и на 12.
Расширенный алгоритм Евклида*
Очень важным для математики свойством наибольшего общего делителя является следующий факт:
Для любых целых \(a, b\) найдутся такие целые \(x, y\), что \(ax + by = d\), где \(d = \gcd(a, b)\).
Из этого следует, что существует решение в целых числах, например, у таких уравнений: * \(8x + 6y = 2\) * \(4x — 5y = 1\) * \(116x + 44y = 4\) * \(3x + 11y = -1\)
Мы сейчас не только докажем, что решения у таких уравнений существуют, но и приведем быстрый алгоритм нахождения этих решений. Здесь нам вновь пригодится алгоритм Евклида.
Натуральные числа больше единицы бывают простые и составные.
Простое число — это натуральное число больше 1, у которого есть всего два делителя: единица и само число.
Составное число — похоже на простое. Это точно такое же натуральное число больше единицы, которое делится на единицу, на само себя и еще хотя бы на одно натуральное число.
Число 1 — не является ни простым, ни составным числом, так как у него только один делитель — 1. Именно этим оно отличается от всех остальных натуральных чисел.
Число 2 — первое наименьшее простое, единственное четное, простое число. Все остальные — нечетные.
Число 4 — первое наименьшее составное число.
В математике есть первые простые и составные числа, но последних таких чисел не существует.
А еще не существует простых чисел, которые оканчиваются на 4, 6, 8 или 0. В числе простых есть только одно число, которое заканчивается на 2 — и это само число 2. Из оканчивающихся на 5 — число 5. Все остальные оканчиваются на 1, 3, 7 или 9, за исключением 21, 27, 33 и 39.
Простые числа. Делители
Из книги Паоло Джордано The Solitude of Prime Numbers («Одиночество простых чисел»):
Простые числа делятся только на единицу и самих себя. Они занимают свое место в бесконечном ряду простых чисел, которые, как и остальные числа, зажаты между двумя другими, но на один шаг дальше, чем предыдущие. Эти числа подозрительны и одиноки, и Маттиа казалось, что они волшебные. Иногда он думал, что они очутились в этом ряду по ошибке, как жемчужины, нанизанные на нитку ожерелья. А порой ловил себя на мысли, что они тоже предпочли бы быть обычными числами, однако по какой-то причине не сложилось. […]
Простые числа — атомы арифметики. Согласно греческому происхождению слова «атом», простые числа являются «атомными», то есть «неделимыми». И подобно тому как все сложено из атомов, каждое число слагается из простых чисел. Например, 60 равно 2 × 2 × 3 × 5. Мы говорим, что 60 — это составное число, и его можно представить в виде произведения простых множителей 2 (дважды), 3 и 5.
А как быть с 1? Это простое число? Нет. И когда мы поймем это, то узнаем, почему 1 — самое одинокое число, даже более одинокое, чем любое простое число.
Задачи на простые и составные числа
1. Известно, что р, р + 10, р + 14 – простые числа. Найдите число р.
- 2. Докажите, что число
- а) 210 + 512;
- б) n4 + 64;
- в) 4545 + 5454;
- является составным.
3. Найдите все простые р для которых число р2 + 14 так же будет простым числом.
4. Докажите, что уравнение х2 + х + 1 = р·у имеет решение в целых числах (х, у) для бесконечного числа простых р.
5. Введём обозначение для суммы первых n простых чисел через Sn:
Sn = 2 + 3 + 5 + . . . + рn.
Докажите, что между числами Sn и Sn+1 всегда существует число, являющееся полным квадратом.
На этом уроке мы познакомимся с двумя видами чисел. Они будут различаться количеством делителей.
Также узнаем, как можно разложить составное число на простые числа, изучим основную теорему арифметики и увидим решето Эратосфена.
Давайте же начнём!
- Если мы попытаемся разделить число 11 на какие-нибудь числа без остатка, то у нас получится это сделать, только если мы будем делить на 1 или на 11.
- Получается, что число 11 имеет только два делителя: 1 и 11.
- Если мы поступим так же с числами 9 и 18, то узнаем, что у числа 9 три делителя: 1, 3 и 9, а число 18 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 6, 9 и 18
Первое число, у которого всего два делителя, — это простое число. А вот такие числа, как 9 и 18, называют составными числами.
Натуральное число простое, если оно имеет делителями только единицу и само себя.
Если натуральное число имеет больше двух делителей, то оно называется составным.
Есть число, которое не относится ни к первым, ни ко вторым. Это число 1. Оно имеет всего один делитель — само это число.
Таким образом, числа, которые мы используем при счете, в итоге можно разделить на три разные группы по количеству делителей:
- простые имеют всегда пару делителей: единицу и само себя, например: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 19, 23 и т.д.
- составные имеют всегда три или больше делителей, например: 4, 6, 8,10,15, 22 и т.д.
- единица (1) со своим единственным делителем
Пример 1
Даны числа: 1, 7, 10, 12, 13, 24. Найдите все делители для каждого из чисел. Выпишите числа, имеющие:
- А) один делитель
- Б) два делителя
- В) больше двух делителей
- Решение:
- Число 1 имеет один делитель: 1
- Число 7 имеет два делителя: 1, 7
- Число 10 имеет четыре делителя: 1, 2, 5, 10
- Число 12 имеет шесть делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 12
- Число 13 имеет два делителя: 1, 13
- Число 24 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
- Ответ:
- А) один делитель- 1
- Б) два делителя- 7, 13
- В) больше двух делителей- 10, 12, 24
- Таким образом, числа 7 и 13 являются простыми, потому что имеют по два делителя.
- Числа 10, 12, 24 являются составными, потому что имеют больше двух делителей.
- Пример 2
Даны числа: 2, 4, 17, 21, 28, 30, 42, 55, 127. Какие из них простые, а какие составные?
- Найдите все делители для составных чисел.
- Решение:
- Простые: 2, 17, 127
- Составные: 4, 21, 28, 30, 42, 55
- Число 4 имеет три делителя: 1, 2, 4
- Число 21 имеет четыре делителя: 1, 3, 7, 21
- Число 28 имеет шесть делителей: 1, 2, 4, 7, 14, 28
- Число 30 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
- Число 42 имеет восемь делителей: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42
- Число 55 имеет четыре делителя: 1, 5, 11, 55
Простое число – это положительное натуральное число, которое имеет только два положительных натуральных делителя: единицу и самого себя.
Противоположностью простых чисел являются составные числа. Составное число – это положительное натуральное число, которое имеет, по крайней мере, один положительный делитель, отличный от одного или самого себя.
Взаимно простые числа – числа A и B, не имеющие никаких общих делителей, за исключением единицы.
- Число 2 является простым числом, т.к.
имеет всего два делителя – 1 и 2:
- Число 15 не является простым числом, потому имеет делители – 1, 3, 5, 15:
- 15/1 = 15
- 15/3 = 5
- 15/5 = 3
- 15/15 = 1
- Число 13 является простым числом, т.к.
имеет только два делителя – 1 и 13:
- Числа 2 и 5 являются взаимно простыми, т.к. имеют только один общий делитель – число 1:
- 2/1 = 2
- 2/2 = 1
- 5/1 = 5
- 5/5 = 1
Простое число – это положительное целое число больше 1, которое можно без остатка поделить только на 1 и на само себя. Чтобы определить является ли число простым, необходимо его поделить на 2, затем на 3, 4, … n, до тех пор, пока n не станет равным самому числу. Если это число разделится без остатка только на само себя, то оно является простым.
Имеет ли множество простых чисел предел?
О том, что множество простых является бесконечностью, писал в книге “Начала” древнегреческий ученый Евклид. Он говорил так: “Давайте на минуту представим, что простые числа имеют предел. Тогда давайте перемножим их друг с другом, а к произведению прибавим единицу. Число, полученное в результате этих простых действий, не может делиться ни на одно из ряда простых чисел, потому что в остатке всегда будет единица. А это значит, что существует какое-то другое число, которое еще не включено в список простых чисел. Следовательно, наше допущение не верно, и это множество не может иметь предела. Помимо доказательства Евклида, существует более современная формула, данная швейцарским математиком восемнадцатого века Леонардом Эйлером. Согласно ему, сумма, обратная сумме первых n чисел растет неограниченно с ростом числа n. А вот формула теоремы относительно распределения простых чисел: (n) растёт, как n/ln (n).
Названия специальных простых чисел
Те числа, которые были найдены благодаря алгоритмам, созданным теми или иными учеными, и прошли тест простоты, называются специальными. Вот некоторые из них:
Простота этих чисел, названных в честь вышеперечисленных ученых, устанавливается с использованием следующих тестов:
4. Биллхарта – Лемера – Селфриджа и др.
Современная наука не останавливается на достигнутом, и, вероятно, в ближайшем будущем мир узнает имена тех, кто смог получить приз в 250.000 долларов, найдя наибольшее простое число.
В статье рассматриваются понятия простых и составных чисел. Даются определения таких чисел с примерами. Приводим доказательство того, что количество простых чисел неограниченно и произведем запись в таблицу простых чисел при помощи метода Эратосфена. Будут приведены доказательства того, является ли число простым или составным.
Некоторые свойства простых чисел.
Допустим, p — простое, и p делит ab, тогда p делит a либо b.
Кольцо вычетов Znбудет называться полем только в случае, если n — простое.
Характеристика всех полей — это нуль либо простое число.
Когда p — простое, а a — натуральное, значит, ap-a можно поделить на p (малая теорема Ферма).
Когда G — конечная группа, у которой порядок /G/ делят на p, значит, у G есть элемент порядка p (теорема Коши).
Когда G — конечная группа, и pn — самая высокая степень p, делящая /G/, значит, у G есть подгруппа порядка pn, которая называется силовская подгруппа, кроме того, число силовских подгрупп соответствует pk+1 для некоего целого k (теоремы Силова).
Натуральное p > 1 будет простым лишь в случае, если (p-1)! + 1 можно подулить на p (теорема Вильсона).
Когда n > 1 — натуральное, значит, есть простое p: n (постулат Бертрана).
Интересная информация
В глубокой древности началось изучение так называемых совершенных и дружественных чисел.
Некоторые из учёных пытались выражать на языке чисел всё, что наблюдали вокруг себя. Даже нематематические понятия дружбы, справедливости и совершенства переводились на язык чисел.
Если число равно сумме всех возможных делителей без него самого, то оно называется совершенным.
Например, самыми элементарными из них будут 6 и 28:
6 = 1 + 2 + 3,
28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.
Если сумма всех возможных делителей числа (кроме него самого) равна второму числу, а сумма всех возможных делителей второго (без него самого) равна первому, то это уже дружественные числа.
Если верить историческим фактам, математик Пифагор считал, что его другом может быть «тот, кто является моим вторым Я, как числа 220 и 284»
Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, сумма делителей равна 284
Список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, сумма делителей равна 220.
Пару дружественных чисел 1184 и 1210 обнаружил в 1866г. итальянский школьник Никколо Паганини, полный тёзка великого скрипача.
Любопытно, что эту пару «проглядели» все великие математики.
Все делители, на которые данное число делится нацело, можно получить из разложения числа на простые множители.
Нахождение всех делителей числа выполняется следующим образом:
- Сначала нужно разложить данное число на простые множители.
- Выписываем каждый полученный простой множитель (без повторов, если какой-то множитель повторяется).
- Далее, находим всевозможные произведения всех полученных простых множителей между собой и добавляем их к выписанным простым множителям.
- В конце добавляем в качестве делителя единицу.
Например, найдём все делители числа 40. Раскладываем число 40 на простые множители:
| 40 20 10 5 1 |
2 2 2 5 |
Нахождение делителей числа
В начале данного урока было сказано, что делителем называется число, на которое другое число делится без остатка.
Например, число 2 является делителем числа 6, поскольку число 6 можно без остатка разделить на 2
6 : 2 = 3
Ещё делителем числа 6 является число 3
6 : 3 = 2
Ещё делителем числа 6 является число 1
6 : 1 = 6
Наконец, делителем числа 6 является само это число
6 : 6 = 1
Перечислим все делители числа 6
1, 2, 3, 6
Иногда возникает необходимость найти все делители какого-нибудь числа. Чтобы понять, как это делается, рассмотрим несколько примеров.
Да, поскольку 18 имеет более двух факторов, то есть 1, 2, 3, 6, 9, 18. Другими словами, 18 — составное число потому что 18 имеет более двух факторов.
Что такое простые шансы и составные числа? Проще говоря, простое число можно разделить только на 1 и само на себя. За исключением числа 2, каждое простое число является нечетным числом.. Составные числа. Составное число – это любое не простое число. Натуральные числа, состоящие из более чем двух компонентов, называются составными числами.
Как 15 простое число?
Число 15 — это делится на 1, 3, 5, 15. Чтобы число было классифицировано как простое, оно должно иметь ровно два множителя. Поскольку 15 имеет более двух множителей, то есть 1, 3, 5, 15, это не простое число.
Почему 57 — не простое число? Нет, 57 не простое число. Число 57 делится на 1, 3, 19, 57.… Поскольку 57 имеет более двух делителей, то есть 1, 3, 19, 57, это не простое число.
Определения простых и составных чисел
Простые числа – натуральные числа, которые имеют ровно два делителя: число 1 и самого себя.
Составные числа – все непростые числа, которые имеют больше двух делителей.
Число 1 не является ни простым, ни составным.
Приведем несколько первых простых чисел:
- 2;
- 3;
- 5;
- 7;
- 11;
- 13;
- 17;
- 19;
- 23;
- 29;
- 31;
- 37 и др.
Таким образом, простыми бывают только нечетные числа (кроме числа 2).
Чтобы понять, какие простые числа нельзя записать в виде суммы двух составных чисел, рассмотрим каждое простое число по порядку.
- 2 можно записать в виде 1 + 1, но 1 не является составным.
- 3 можно записать только в виде 2 + 1. 2 – простое число, 1 не является составным числом.
- 5 = 4 + 1 – также нельзя представить в виде суммы составных чисел.
- 7 = 2 + 5; 3 + 4 – 3 является простым числом.
- 11 = 2 + 9; 3 + 8; 4 + 7; 5 + 6.
- 13 = 4 + 9; 6 + 7; 8 + 5; 9 + 4. Итак, число 13 можно записать в виде суммы 2 составных чисел 9 и 4.
- 17 = 9 + 8;
- 19 = 9 + 10;
- 23 = 9 + 14 и т. д.
Далее все простые числа можно записать как сумму 9 и другого составного числа.
Итак, нельзя записать в виде суммы простые числа 2, 3, 7, 9.
Чётные и нечётные числа
Чётным называется число, которое делится без остатка на 2. Например, число 20 является четным, поскольку оно делится без остатка на 2:
20 : 2 = 10
Нечётным называется число, если при его делении на 2, остаётся остаток 1. Например число 21 является нечетным, поскольку после его деления на 2 остается остаток 1:
21 : 2 = 10 (1 в остатке)
Как распознать чётное число от нечетного, не выполняя деления на 2? Очень просто. Из однозначных чисел чётными являются числа 0, 2, 4, 6, 8, а нечетными являются 1, 3, 5, 7, 9. Если число оканчивается чётной цифрой, то это число является чётным. Если число оканчивается нечетной цифрой, то это число является нечетным.
Например, число 308 чётно, поскольку оно оканчивается чётной цифрой. Число 1024 тоже четно, поскольку оканчивается четной цифрой.
А числа 305 и 1027 являются нечётными, поскольку они оканчиваются нечётными цифрами.